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【数学】10回に1回は当たりが出て当たると賭金の倍になる

      2015/09/03

 double
1: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 10:54:05.142 ID:uBO8eGmI0.net
外れが続くと当たる確率は増加する。
最初は1/10、外れた場合は1/9、次も外れた場合は1/8…となり、9回連続で外れた場合は10回目で必ず当たる。
当たりが出ると確率はリセットされ1/10からスタートする。

最低でも1円は賭ける必要がある。
ゲームをやめるタイミングは自由であり、続けられる回数に上限はない。

どのように賭けるのが最適であろうか?
なお、最適とはなるべく少ない賭け回数で持ち金を増やすことを指す。

(1) 100万円ある場合にはどうすべきか?
(2) m円ある場合にはどうすべきか?

2: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 10:57:23.863 ID:uBO8eGmI0.net
昨日あるスレでこんな問題が出てたんだけど
立てた奴は回答を知らずに立てたのではっきりした回答はなかった。
自分なりの回答は得られたんだけど正しいか確信はないので
答え合わせのためにスレを立てた。

12時頃に自分なりの回答をするのでそれまで諸君も考えてくれ。

5: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:01:17.008 ID:YvWZiC9/H.net
9回連続で外れるまで1円がけ
9回連続で外したら全部

36: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:10:17.614 ID:8DOzqdssM.net
>>5
ギャンブラーの誤謬

9: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:05:03.997 ID:gQw6SmzY0.net
1/10~1/3までは期待値が賭け値以外 もちろん得しない
1/2は賭け値と同じ 損得なし
1/1は絶対得

13: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:08:16.574 ID:hAY/8p760.net
マーチンゲールでFA

17: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:12:02.477 ID:nOUOhhcZ0.net
9回連続ではずす確率は(9/10)*(8/9)*(7/8)*…(1/2)で約分して1/10
単純に考えても100円使う間に9連続はずれがくるだろ

40: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:19:52.131 ID:uBO8eGmI0.net
それでは数学がそんなに得意じゃない俺の解説を開始する。

9回連続で外れるまで1円ずつ賭ける戦略と賭金を倍々し続けるマルチンゲールの
2つの戦略について考える。

まず、1円ずつ賭ける場合だが、9回連続で外れる確率は>>17より1/10である。
1円ずつの賭金は100万と比較すると小さいので無視すると10回賭ける場合は
1/10×100万の10万のリターンを得られることが期待できる。

20: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:15:30.942 ID:uBO8eGmI0.net
問題の意味は伝わったみたいだからこれよりテストを開始する。
試験官は離席するので検討して下さい。

12時頃に回答(と思っているもの)を書き込みます。
スレが落ちてたら同じスレタイでもう一回立てる。

(2)はm円の範囲によって場合分けすることになると思う。
ここは厳密な回答をできるほど数学が得意じゃないので多少の誤差は
無視した回答になってしまう。
数学の得意な人が正確な式を見つけてくれることもちょっと期待している。

22: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:20:11.512 ID:xuz9JND3H.net
9回目は半分の確率で当たるのだし、9回目で当たったら、10回目はまた10分の1の当選確率になるのだから、
時間の無駄を防いで効率よくかけるためには9回目である程度かけてもいいのではないか?

と思ったが、そうすると外れた場合必ず当たる10回目の掛け金が少なくなるから駄目だな。

26: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:25:27.999 ID:x9t3H5bn0.net
所持金m円で確率1/n(1≦n≦10)のときの期待値の最大をE(n, m)とする
E(n, 0) = 0
E(1, m) = max_[0≦b≦m] {2b + E(10, m-b)}
E(n, m) = max_[0≦b≦m] {(1/n)(2b + E(10, m-b)) + ((n-1)/n)E(n-1, m-b)}

求めるのはE(10, m)

27: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:28:42.839 ID:3vWMwkvh0.net
期待値で考えるなら9回目までは1以下なんだからお金はできるだけ少なく
かけるのが

期待値が1以下なのにマルチンゲールで確実に儲かるっていうことの裏には
もち金をオーバーして失敗するのを計算に入れてないからか

この場合はマルチンゲールは確実に成功するけど

31: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 11:53:43.036 ID:x9t3H5bn0.net
10回に戻った時点での所持金の期待値が高いほど良い
所持金m円で確率1/nのときのこれをE(n, m)とする

E(1, m) = 2m
E(n, m) = {(m+b)+(n-1)E(n-1, m-b)}/n(bは賭け金)

E(2, m) = {(m+b)+E(1, m-b)}/2
= (3m-b)/2 は b=1 のとき最大値 (3m-1)/2

E(3, m) = {(m+b)+2E(2, m-b)}/3
= (4m-2b-1)/3 は b=1 のとき最大値 (4m-3)/3

E(4, m) = {(m+b)+3E(3, m-b)}/4
= (5m-3b-3)/4 は b=1 のとき最大値 (5m-6)/4

……


やっぱり確率1/1になるまで1円賭けが一番良さそう

38: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:15:36.514 ID:x9t3H5bn0.net
最適の定義が「儲けを気にせずに元金よりも増やすための回数を最小にする」なら

最初に1円
次に2円
次に4円
次に8円
……

かもしれん
1円ずつだと1/1になるまで回さなきゃならないがこれならどのタイミングで当たっても最初より増える

49: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:44:27.835 ID:oAUMXU4XM.net
>>38
これだろ
っつーことは10回できる金が必要になるから増やすには最低でもm>1023必要ってことか

53: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:48:41.228 ID:uBO8eGmI0.net
>>49
問題文が不明瞭だったな。
儲けた金額/回数を最大にする方法を最適とする。

41: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:26:44.415 ID:uBO8eGmI0.net
次にマルチンゲールであるが、10回目まで行った場合の賭金を確保するには
最初の賭金は持ち金/1023以下でなければならない。
したがって、100万ある場合は約1000円になり、当たった場合には1000円儲かる。

9/10 * 8/9 * 7/8 * 6/7 * 5/6 = 1/2であるから5回目で当たる確率がちょうど半分になり
10回賭けた場合の期待値は1000円×2の2000円にしかならない。

43: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:32:23.518 ID:3vWMwkvh0.net
>>41
5回目で当たる確率は1/2ではないだろ 1/20だ

45: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:34:05.924 ID:uBO8eGmI0.net
>>43
5回目までに当たる確率だった。

42: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:27:40.480 ID:uBO8eGmI0.net
したがって、9回連続で外れるまで1円ずつ賭ける戦略のほうが有利である。

と思うんだけど、ここまで合ってるよな?

46: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:34:51.705 ID:3vWMwkvh0.net
結局どう計算してもn回目で当たる確率は1/10なんだな

47: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:38:24.314 ID:uBO8eGmI0.net
>>46
なるほど、くじ引きの確率になるのか。

50: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:46:13.276 ID:uBO8eGmI0.net
m円を持っていた場合については99円持っていれば1円ずつ賭け続けて
外れが9連続で出た場合に90円賭けることができる。
つまり9円の投資によって10%の確率で90円儲けることができるようになる。

したがって100円以下なら賭けるべきではない。
100円以上なら1円だけ賭けて9連続外れを期待する。

ってのが基本的な回答だと思うのだが…。

52: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:48:03.907 ID:x9t3H5bn0.net
>>50
それはなんか違くね?

55: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:51:19.081 ID:uBO8eGmI0.net
>>52
基本的な考え方は合ってない?

9連続になる前に当たったとしても賭けを続ける限りはいずれ9連続になるだろうから
1円ずつ賭ける場合の期待値は1/10Mより高いようには感じてる。
ただ、それを式に表現して計算する数学力が俺にはない。

57: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:53:44.805 ID:x9t3H5bn0.net
>>50
所持金が42円以上ならば確実に増やすことができる
1,1,1,2,3,4,6,9,14,残り全額
で賭ければどのタイミングで当たったとしても元通りor少しの儲けが出る

58: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:55:03.658 ID:x9t3H5bnH.net
>>57は違ったわ
やっぱり100円以下じゃ無理かも

60: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 12:58:14.278 ID:uBO8eGmI0.net
>>58
そうだな。
書き込みのタイミングが前後してしまった。

ちなみに1円ずつ賭ける場合の期待値は正確には1/10Mより高いような気がするけど
どういう式で表現するのが正しいの?

62: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 13:17:14.520 ID:x9t3H5bn0.net
>>60
最初に戻るまでの儲けの期待値は (M-45)/10 かなぁ
だから45円以上持ってたら増やせる可能性のほうが高いかも

もうさっきから間違いだらけだから自信ないわ

63: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 13:26:07.707 ID:uBO8eGmI0.net
>>62
どうやって出したの?
俺より数学詳しいのは間違いないから自信持って!

64: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 13:42:57.121 ID:x9t3H5bn0.net
>>63
所持金がMのとき
確率1/1では所持金を2Mにできる
確率1/nでは
・1/nの確率で「M+1」にできる
・(n-1)/nの確率で「確率1/(n-1)のときの式においてMをM-1で置き換えた値」にできる
1/10まで順番に計算すると所持金は(11M-45)/10にできる
儲けは(M-45)/10

72: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 14:12:04.643 ID:uBO8eGmI0.net
>>64
これって例えば最初に当たりが出ても続行して
9回連続で外れになったり、2回目に当たりが出てりするケースは考慮してないよな?

75: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2015/08/31(月) 14:34:36.062 ID:hDF1JpgP0.net
何お前ら真面目か?
いつも通りおっぱいとかウンコの話しろよ

引用元: http://2log.sc/r/2ch.sc/news4vip/1440986045/l50

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【数学】10回に1回は当たりが出て当たると賭金の倍になる

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