【数学】10回に1回は当たりが出て当たると賭金の倍になる

外れが続くと当たる確率は増加する。
最初は1/10、外れた場合は1/9、次も外れた場合は1/8…となり、9回連続で外れた場合は10回目で必ず当たる。
当たりが出ると確率はリセットされ1/10からスタートする。

最低でも1円は賭ける必要がある。
ゲームをやめるタイミングは自由であり、続けられる回数に上限はない。

どのように賭けるのが最適であろうか？
なお、最適とはなるべく少ない賭け回数で持ち金を増やすことを指す。

(1) 100万円ある場合にはどうすべきか？
(2) m円ある場合にはどうすべきか？

昨日あるスレでこんな問題が出てたんだけど
立てた奴は回答を知らずに立てたのではっきりした回答はなかった。
自分なりの回答は得られたんだけど正しいか確信はないので
答え合わせのためにスレを立てた。

１２時頃に自分なりの回答をするのでそれまで諸君も考えてくれ。

9回連続で外れるまで1円がけ
9回連続で外したら全部

1/10～1/3までは期待値が賭け値以外 もちろん得しない
1/2は賭け値と同じ 損得なし
1/1は絶対得

マーチンゲールでFA

9回連続ではずす確率は(9/10)*(8/9)*(7/8)*…(1/2)で約分して1/10
単純に考えても100円使う間に9連続はずれがくるだろ

問題の意味は伝わったみたいだからこれよりテストを開始する。
試験官は離席するので検討して下さい。

１２時頃に回答（と思っているもの）を書き込みます。
スレが落ちてたら同じスレタイでもう一回立てる。

(2)はm円の範囲によって場合分けすることになると思う。
ここは厳密な回答をできるほど数学が得意じゃないので多少の誤差は
無視した回答になってしまう。
数学の得意な人が正確な式を見つけてくれることもちょっと期待している。

9回目は半分の確率で当たるのだし、9回目で当たったら、10回目はまた10分の1の当選確率になるのだから、
時間の無駄を防いで効率よくかけるためには9回目である程度かけてもいいのではないか？

と思ったが、そうすると外れた場合必ず当たる10回目の掛け金が少なくなるから駄目だな。

所持金m円で確率1/n(1≦n≦10)のときの期待値の最大をE(n, m)とする
E(n, 0) = 0
E(1, m) = max_[0≦b≦m] {2b + E(10, m-b)}
E(n, m) = max_[0≦b≦m] {(1/n)(2b + E(10, m-b)) + ((n-1)/n)E(n-1, m-b)}

求めるのはE(10, m)

期待値で考えるなら9回目までは1以下なんだからお金はできるだけ少なく
かけるのが

期待値が1以下なのにマルチンゲールで確実に儲かるっていうことの裏には
もち金をオーバーして失敗するのを計算に入れてないからか

この場合はマルチンゲールは確実に成功するけど

10回に戻った時点での所持金の期待値が高いほど良い
所持金m円で確率1/nのときのこれをE(n, m)とする

E(1, m) = 2m
E(n, m) = {(m+b)+(n-1)E(n-1, m-b)}/n（bは賭け金）

E(2, m) = {(m+b)+E(1, m-b)}/2
= (3m-b)/2 は b=1 のとき最大値 (3m-1)/2

E(3, m) = {(m+b)+2E(2, m-b)}/3
= (4m-2b-1)/3 は b=1 のとき最大値 (4m-3)/3

E(4, m) = {(m+b)+3E(3, m-b)}/4
= (5m-3b-3)/4 は b=1 のとき最大値 (5m-6)/4

……
…

やっぱり確率1/1になるまで1円賭けが一番良さそう

最適の定義が「儲けを気にせずに元金よりも増やすための回数を最小にする」なら

最初に1円
次に2円
次に4円
次に8円
……
…
かもしれん
1円ずつだと1/1になるまで回さなきゃならないがこれならどのタイミングで当たっても最初より増える

次にマルチンゲールであるが、10回目まで行った場合の賭金を確保するには
最初の賭金は持ち金/1023以下でなければならない。
したがって、100万ある場合は約1000円になり、当たった場合には1000円儲かる。

9/10 * 8/9 * 7/8 * 6/7 * 5/6 = 1/2であるから5回目で当たる確率がちょうど半分になり
10回賭けた場合の期待値は1000円×2の2000円にしかならない。

したがって、9回連続で外れるまで1円ずつ賭ける戦略のほうが有利である。

と思うんだけど、ここまで合ってるよな？

結局どう計算してもn回目で当たる確率は1/10なんだな

m円を持っていた場合については99円持っていれば1円ずつ賭け続けて
外れが9連続で出た場合に90円賭けることができる。
つまり9円の投資によって10%の確率で90円儲けることができるようになる。

したがって100円以下なら賭けるべきではない。
100円以上なら1円だけ賭けて9連続外れを期待する。

ってのが基本的な回答だと思うのだが…。

何お前ら真面目か？
いつも通りおっぱいとかウンコの話しろよ